В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:
- Формирование понятия геометрической фигуры и числа какидеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.
- Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские ииндийские математики древности.
- Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.
- Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
- В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному ихпрогрессу.
- В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[3]. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций[4]: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде.
Помимо большого исторического интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития философии иметодологии математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин; например, древняякитайская задача (теорема) об остатках сформировала целый разделтеории чисел.
Пифагор
Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом»[1].
Основными источниками по жизни и учению Пифагора являются сочинения философа-неоплатоника Ямвлиха (242—306 гг.) «О Пифагоровой жизни»;Порфирия (234—305 гг.) «Жизнь Пифагора»; Диогена Лаэртского (200—250 гг.) кн. 8, «Пифагор». Эти авторы опирались на сочинения более ранних авторов, из которых следует отметить ученика Аристотеля Аристоксена (370—300 гг. до н. э.) родом из Тарента, где сильны были позиции пифагорейцев.
Таким образом, самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.
В честь Пифагора назван кратер на Луне.
Биография
Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с Самоса. Мнесарх был камнерезом (Диоген Лаэртский); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора.[2] Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.
Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида и дал имя ребенку Пифагор. Пифаида сопровождала мужа в его поездках, и Пифагор родился в Сидоне Финикийском (по Ямвлиху) примерно в 570 до н. э.
По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание. В популярной литературе иногда приписывают Пифагору Олимпийскую победу в боксе, путая Пифагора-философа с его тёзкой (Пифагором, сыном Кратета с Самоса), который одержал свою победу на 48-х Играх за 18 лет до рождения знаменитого философа.
В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён в таинства, запретные для прочих чужеземцев.
Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.
По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV века до н. э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н. э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н. э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н. э.Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду, то есть в 532—529 гг. до н. э. Эти сведения хорошо согласуются с Порфирием, но полностью противоречат легенде самого Ямвлиха (вернее, одного из его источников) о вавилонском пленении Пифагора. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался по легендам восточной мудрости.Диоген Лаэртский цитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков.
Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей. Ямвлих сообщает:
«Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.»
Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету. Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя и основателя. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колониюМетапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя во времена Цицерона (I в. до н. э.) в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора.
У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мня (по другой версии сын Аримнест и дочь Аригнота).[3]
По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн.Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н. э.), говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по неназванным другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н. э.(или 480 до н. э., что маловероятно). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора.
Научные достижения
В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев.»
Античные авторы нашей эры[6] отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):
«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
Славную он за него жертву быками воздвиг.»
Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.
Аристотель затрагивает развитие представлений о космологии в работе «Метафизика», однако вклад Пифагора в ней никак не озвучен. По Аристотелю космологическими теориями занимались пифагорейцы в середине V в. до н. э., но, видимо, не сам Пифагор. Пифагору приписывают открытие, что Земля — шар, но то же открытие наиболее авторитетный автор в этом вопросе, Феофраст, отдаёт Пармениду. Да и Диоген Лаэртский сообщает, что суждение о шарообразности Земли высказывал Анаксимандр Милетский, у которого учился Пифагор в юности.
В то же время, научные заслуги школы пифагорейцев в математике и космологии бесспорны. Точку зрения Аристотеля, отражённую в его несохранившемся трактате «О пифагорейцах», передал Ямвлих.[7] По Аристотелю истинными пифагорейцами были акусматики, последователи религиозно-мистического учения о переселении душ. Акусматики рассматривали математику как учение, исходящее не столько от Пифагора, сколько от пифагорейца Гиппаса. В свою очередь математики-пифагорейцы, по их собственному мнению, вдохновлялись направляющим учением Пифагора для углублённого изучения своей науки.
Философия пифагорейцев
Пифагор был первым мыслителем, который по преданию назвал себя философом, то есть «любителем мудрости». Он же впервые назвал вселенную космосом, то есть «прекрасным порядком». Предметом его учения был мир как стройное целое, подчиненное законам гармонии и числа.
Основу последующего философского учения пифагорейцев составила категориальная пара двух противоположностей — предела и беспредельного. «Беспредельное» не может быть единым началом вещей; иначе ничто определённое, никакой «предел» не был бы мыслим. С другой стороны, и «предел» предполагает нечто такое, что определяется им. Отсюда следует вывод Филолая, что «природа, сущая в космосе, гармонически слажена из беспредельных и определяющих; так устроен и весь космос, и все, что в нём».
Пифагорейцами была составлена таблица 10 противоположностей; Аристотель приводит её в своей «Метафизике» (I, 5):
- предел — беспредельное
- нечётное — чётное
- одно — многое
- правое — левое
- мужское — женское
- покой — движение
- прямое — кривое
- свет — тьма
- добро — зло
- квадрат — вытянутый прямоугольник
Мировая гармония, в которой заключается закон мироздания, есть единство во множестве и множество в единстве — έν καί πολλά. Как мыслить эту истину? Непосредственным ответом на это является число: в нём объединяется множество, оно есть начало всякой меры. Опыты над монохордом показывают, что число есть принцип звуковой гармонии, которая определяется математическими законами. Не есть ли звуковая гармония частный случай всеобщей гармонии, как бы её музыкальное выражение? Астрономические наблюдения показывают нам, что небесные явления, с которыми связаны все главнейшие изменения земной жизни, наступают с математической правильностью, повторяясь в точно определённые циклы.
Так называемые пифагорейцы, взявшись за математические науки, первые подвинули их вперёд; вскормленные на этих науках, они признали математические начала за начала всего существующего. Из таких начал, естественно, первыми являются числа. В числах усматривали они множество аналогий или подобий с вещами… так что одно свойство чисел являлось им как справедливость, другое — как душа или разум, ещё другое — как благоприятный случай и т. д. Далее они наводили в числах свойства и отношения музыкальной гармонии, и так как все прочие вещи по своей природе являлись им подобием чисел, числа же — первыми из всей природы, то они и признали, что элементы числа суть элементы всего сущего, и что все небо есть гармония и число (Аристотель, Met., I, 5).
Таким образом, пифагорейские числа имеют не простое количественное значение: если для нас число есть определённая сумма единиц, то для пифагорейцев оно есть, скорее, та сила, которая суммирует данные единицы в определённое целое и сообщает ему определённые свойства. Единица есть причина единения, два — причина раздвоения, разделения, четыре — корень и источник всего числа (1 + 2 + 3 + 4 = 10). В основании учения о числе усматривалась, по-видимому, коренная противоположность чётного и нечётного: чётные числа суть кратные двух, и потому «чёт» есть начало делимости, раздвоения, разлада; «нечёт» знаменует противоположные свойства. Отсюда понятно, что числа могут обладать и нравственными силами: 4 и 7, например, как средние пропорциональные между 1 и 10, являются числами, или началами, пропорциональности, а следовательно, и гармонии, здоровья, разумности.
Фалес Милетский
Фале́с (др.-греч. Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, 640/624 — 548/545 до н. э.) — древнегреческий философ и математик из Милета (Малая Азия). Представительионической натурфилософии и основатель милетской (ионийской) школы, с которой начинается история европейской науки. Традиционно считается основоположником греческой философии (и науки) — он неизменно открывал список "семи мудрецов", заложивших основы греческой культуры и государственности[2].
Имя Фалеса уже в V век до н. э. стало нарицательным для мудреца. «Отцом философии» Фалеса называли уже в его время[3].Фалес был знатного рода и получил на родине хорошее образование. Собственно милетское происхождение Фалеса ставится под сомнение; сообщают, что его род имел финикийские корни, и что в Милете он был пришельцем (на это указывает напр. Геродот, явл. наиболее древним источником сведений о жизни и деятельности Фалеса[2]).
Сообщается, что Фалес был торговцем и много путешествовал. Некоторое время жил в Египте, в Фивах и Мемфисе, где учился у жрецов, изучал причины наводнений, продемонстрировал способ измерения высоты пирамид. Считается, что именно он «привез» геометрию из Египта и познакомил с ней греков. Его деятельность привлекла последователей и учеников, которые образовали милетскую (ионийскую) школу, и из которых сегодня наиболее известныАнаксимандр и Анаксимен.
Предание рисует Фалеса не только собственно философом и учёным, но также «тонким дипломатом и мудрым политиком»; Фалес пытался сплотить города Ионии в оборонительный союз против Персии. Сообщается, что Фалес был близким другом милетского тирана Фрасибула; был связан с храмом Аполлона Дидимского, покровителя морской колонизации.
Некоторые источники утверждают, что Фалес жил в одиночестве и сторонился государственных дел; другие — что был женат, имел сына Кибиста; третьи — что оставаясь холостяком, усыновил сына сестры.
Относительно времени жизни Фалеса существует несколько версий. Наиболее последовательно традиция утверждает, что он родился в период с 35-й по 39-ю олимпиаду, а умер в 58-ю в возрасте 78 или 76 лет, то есть прибл. с 624 по 548 до н. э.. Некоторые источники сообщают[источник не указан 782 дня], что Фалес был известен уже в 7-ю олимпиаду (752—749 до н. э.); но в целом время жизни Фалеса сводится на период с 640—624 по 548—545 до н. э., т.о. умереть Фалес мог в возрасте от 76 до 95 лет. Сообщается, что умер Фалес, наблюдая за гимнастическими состязаниями, от жары и, скорее всего, давки. Считается, что есть одна точная дата, связанная с его жизнью, — 585 до н. э., когда в Милете было солнечное затмение, которое он предсказал (по современным вычислениям, затмение произошло 28 мая 585 до н. э., во время войны между Лидией и Мидией).
Сведения о жизни Фалеса скудны и противоречивы, зачастую носят анекдотичный характер.
Упомянутое выше предсказание солнечного затмения 585 до н. э. — по-видимому единственный бесспорный факт из научной деятельности Фалеса Милетского; во всяком случае сообщается, что именно после этого события Фалес стал известен и знаменит.
Будучи военным инженером на службе у царя Лидии Креза, Фалес, чтобы облегчить переправу войска, пустил реку Галис по новому руслу. Неподалеку от г. Мител он спроектировал плотину и водоотводный канал и сам руководил их постройкой. Это сооружение значительно понизило уровень воды в Галисе и сделало возможной переправу войск.
Свои деловые качества Фалес доказал, захватив монополию на торговлю оливковым маслом; однако в биографии Фалеса этот факт имеет эпизодический и, скорее всего, «дидактический» характер.
Фалес был сторонником некоего объединения ионийских полисов (наподобие конфедерации, с центром на о. Хиос), как противодействия угрозе со стороны Лидии, а позже и Персии. Причем Фалес, в оценке внешних опасностей, видимо считал угрозу со стороны Персии большим злом, чем от Лидии; упомянутый эпизод со строительством плотины имел место во время войны Креза (царя Лидии) с персами. В то же время Фалес выступил против заключения союза милетян с Крезом, чем спас город после победы Кира (царя Персии).
Наука
Астрономия
Считается, что Фалес «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент; ранее этим созвездием пользовались финикийцы.
Считается, что Фалес первым открыл наклон эклиптики к экватору и провёл на небесной сфере пять кругов: арктический круг, летний тропик, небесный экватор, зимний тропик, антарктический круг. Он научился вычислять время солнцестояний и равноденствий, установил неравность промежутков между ними.
Фалес первым указал, что Луна светит отражённым светом; что затмения Солнца происходят тогда, когда его закрывает Луна. Фалес первым определил угловой размер Луны и Солнца; он нашёл, что размер Солнца составляет 1/720 часть от его кругового пути, а размер Луны — такую же часть от лунного пути. Можно утверждать, что Фалес создал «математический метод» в изучении движения небесных тел.
Фалес ввёл календарь по египетскому образцу (в котором год состоял из 365 дней, делился на 12 месяцев по 30 дней, и пять дней оставались выпадающими).
Геометрия
Именем Фалеса названа геометрическая теорема.
Считается, что Фалес первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, а именно:
- вертикальные углы равны;
- имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам;
- углы при основании равнобедренного треугольника равны;
- диаметр делит круг пополам;
- вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.
Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.
Устройство космоса
Фалес полагал, что все рождается из воды; все возникает из воды и в неё превращается. Начало элементов, сущих вещей — вода; начало и конецВселенной — вода. Всё образуется из воды путем её затвердевания/замерзания, а также испарения; при сгущении вода становится землей, при испарении становится воздухом. Причина образования/движения — дух (πνευμα), «гнездящийся» в воде.
По замечанию Гераклита-Аллегориста: «Влажное вещество, с легкостью преображаясь (собств. „перелепливаясь“) во всевозможные [тела], принимает пестрое многообразие форм. Испаряющаяся часть его обращается в воздух, а тончайший воздух возгорается в виде эфира. Выпадая в осадок и превращаясь в ил, вода обращается в землю. Поэтому из четверицы элементов Фалес объявил воду наипричиннейшим элементом» [4].
По замечанию Плутарха: «Египтяне говорят, что Солнце и Луна объезжают небо не на колесницах, а на кораблях, намекая на их рождение из влаги и питание влагой. Думают, что и Гомер полагает воду началом и „родителем“ всех вещей, подобно Фалесу научившись у египтян» [5].
Фалес полагал, что Космос — един. Вода и все, что из неё произошло, не являются мертвыми, но одушевлены; Космос одушевлен (εμψυχος) и полон божественных сил (δαίμονες). Душа, как активная сила и носитель разумности, причастна божественному [строю вещей]. Природа, как живая, так и неживая, обладает движущим началом (душой, ψυχή).
Фалес представляет душу в виде тонкого эфирного вещества. По замечанию Плутарха: «После него Анахарсис заметил: „Прекрасно полагает Фалес, что во всех важнейших и величайших частях космоса имеется душа, а потому и не стоит удивляться тому, что промыслом бога совершаются прекраснейшие дела“» [6].
Физика
Фалесу приписываются следующие положения:
- Земля плавает в воде (как кусок дерева, корабль или какое-нибудь другое [тело], которому по природе свойственно держаться на плаву в воде)[7]; землетрясения, вихри и движения звезд происходят оттого, что все качается на волнах по причине подвижности воды;
- Земля плавает в воде, а Солнце и другие небесные тела питаются испарениями этой воды;
- Звезды состоят из земли, но при этом раскалены; Солнце — землистого состава [состоит из земли]; Луна — землистого состава [состоит из земли].
- Земля находится в центре Вселенной; при уничтожении Земли рухнет весь мир.
- Жизнь предполагает питание и дыхание, в каких функциях выступают вода и «божественное начало», душа (ψυχή).
То есть Фалес утверждает, что Земля как суша, как собственно тело, физически держится на некоей «опоре», которая имеет свойства воды (неабстрактные, то есть конкретно текучесть, неустойчивость и т. п.).
Положение 3) является почти буквальным указанием на физическую природу звезд, Солнца и Луны — они состоят из [такой же] материи [как Земля], (не из собственно такого же материала, как это денотативно понимает Аристотель); при этом температура весьма высока.
Положением 4) Фалес утверждает, что Земля является центром, вокруг которого происходит обращение небесных явлений и т.о. именно Фалес является основоположником геоцентрической системы мира.
Ковалевская Софья Васильевна
Со́фья Васи́льевна Ковале́вская (урождённая Корвин-Круковская) (3 (15) января 1850, Москва — 29 января (10 февраля) 1891, Стокгольм) — русский математик и механик, с 1889 года иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук. Первая в России и в Северной Европе женщина-профессор и первая в мире женщина-профессор математики (получившая ранее это звание Мария Аньези никогда не преподавала).
БиографияДочь генерал-лейтенанта артиллерии В. В. Корвин-Круковского и Елизаветы Фёдоровны (девичья фамилия — Шуберт). Дед Ковалевской, генерал от инфантерии Ф. Ф. Шуберт, был выдающимся математиком, а прадед Ф. И. Шуберт ещё более известным астрономом. Родилась в Москве в январе1850 года. Свои детские годы Ковалевская провела в поместье отца Полибино Невельского уезда, Витебской губернии (ныне — село ПолибиноВеликолукского района Псковской области). Первые уроки, кроме гувернанток, давал Ковалевской с восьмилетнего возраста домашний наставник, сын мелкопоместного шляхтича Иосиф Игнатьевич Малевич, поместивший в «Русской старине» (декабрь 1890) воспоминания о своей ученице. В 1866 годуКовалевская ездила впервые за границу, а потом жила в Санкт-Петербурге, где брала уроки математического анализа у А. Н. Страннолюбского.
- Поступление женщин в высшие учебные заведения России было запрещено. Поэтому Ковалевская могла продолжить обучение только за границей, но выдавать заграничный паспорт можно было только с разрешения родителей или мужа. Отец не собирался давать разрешения, так как не хотел дальнейшего обучения дочери. Поэтому Софья организовала фиктивный брак с молодым учёным В.О. Ковалевским. Правда, Ковалевский не подозревал, что в итоге влюбится в свою фиктивную жену.
В 1868 году Ковалевская вышла замуж за Владимира Онуфриевича Ковалевского, и новобрачные отправились за границу.
В 1869 году училась в Гейдельбергском университете у Кенигсбергера, а с 1870 года по 1874 год в Берлинском университете у К. Т. В. Вейерштрасса. Хотя по правилам университета как женщина слушать лекций она не могла, но Вейерштрасс, заинтересованный её математическими дарованиями, руководил её занятиями.
Она сочувствовала революционной борьбе и идеям утопического социализма, поэтому в апреле 1871 года вместе с мужем В. О. Ковалевским приехала в осаждённый Париж, ухаживала за ранеными коммунарами. Позднее принимала участие в спасении из тюрьмы деятеля Парижской коммуны В. Жаклара, мужа своей сестры-революционерки Анны.
- Эмансипированные подруги Софьи требовали, чтобы фиктивный брак не перерос в настоящий, и поэтому мужу пришлось переезжать на другую квартиру, а потом и вообще в другой город. Это положение тяготило обоих и в конце концов в 1874 году фиктивный брак стал фактическим.
В 1874 году Гёттингенский университет, по защите диссертации («Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen»), присвоил Ковалевской степень доктора философии.
В 1878 году у Ковалевских родилась дочь.
В 1879 она делает сообщение на VI съезде естествоиспытателей в Санкт-Петербурге. В 1881 Ковалевская избрана в члены Московского математического общества (приват-доцент).
После самоубийства мужа (1883) (запутался в своих коммерческих делах), Ковалевская, оставшаяся без средств с пятилетней дочерью, приезжает в Берлин и останавливается у Вейерштрасса. Ценой огромных усилий, используя весь свой авторитет и связи, Вейерштрассу удаётся выхлопотать ей место в Стокгольмском университете (1884). Изменив имя на Соня Ковалевски (Sonya Kovalevsky) становится профессором кафедры математики в Стокгольмском университете (Högskola), с обязательством читать лекции первый год по-немецки, а со второго — по-шведски. В скором времени Ковалевская овладевает шведским языком и печатает на этом языке свои математические работы и беллетристические произведения.
В 1888 — лауреат премии Парижской академии наук за открытие третьего классического случая разрешимости задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Вторая работа на ту же тему в 1889 отмечается премией Шведской академии наук, и Ковалевская избирается членом-корреспондентом на физико-математическом отделении Российской академии наук.
В 1891 году на пути из Берлина в Стокгольм Софья узнала, что в Дании началась эпидемия оспы. Испугавшись, она решила изменить маршрут. Но кроме открытого экипажа для продолжения путешествия не оказалось ничего, и ей пришлось пересесть в него. По дороге Софья простудилась. Простуда перешла в воспаление лёгких.
29 января 1891 года Ковалевская в возрасте 41 года скончалась в Стокгольме от воспаления лёгких. Она умерла в шведской столице в полном одиночестве, не имея рядом ни одного близкого человека. Похоронена в Стокгольме, на Северном кладбище.
Научная деятельность
Наиболее важные исследования относятся к теории вращения твёрдого тела. Ковалевская открыла третий классический случай разрешимости задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Этим продвинула вперёд решение задачи, начатое Леонардом Эйлером и Ж. Л. Лагранжем.
Доказала существование аналитического (голоморфного) решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с частными производными, исследовала задачуЛапласа о равновесии кольца Сатурна, получила второе приближение.
Решила задачу о приведении некоторого класса абелевых интегралов третьего ранга к эллиптическим интегралам. Работала также в области теории потенциала,математической физики, небесной механики.
В 1889 получила большую премию Парижской академии за исследование о вращении тяжёлого несимметричного волчка.
Из математических работ Ковалевской наиболее известны: «Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen» (1874, «Journal für die reine und angewandte Mathematik», том 80); «Ueber die Reduction einer bestimmten Klasse Abel’scher Integrale 3-ten Ranges auf elliptische Integrale» («Acta Mathematica», 4); «Zusätze und Bemerkungen zu Laplace’s Untersuchung ü ber die Gestalt der Saturnsringe» (1885, «Astronomische Nachrichten», т. CXI); «Ueber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Medien» («Acta Mathematica» 6,3); «Sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe» (1889, «Acta Mathematica», 12,2); «Sur une propriété du système d’equations differentielles qui definit la rotation d’un corps solide autour d’un point fix e» (1890, «Acta Mathematica», 14,1). О математических трудах написаны рефераты А. Г. Столетовым, Н. Е. Жуковским и П. А. Некрасовым в «Математическом Сборнике», т. XVI вышедших и отдельно (М., 1891).
Литературная деятельность
Благодаря своим выдающимся математическим дарованиям, Ковалевская достигла вершин ученого поприща. Но натура живая и страстная, она не находила удовлетворения в одних только отвлеченных математических изысканиях и проявлениях официальной славы. Прежде всего женщина, она всегда жаждала интимной привязанности. В этом отношении, однако, судьба была мало благосклонна к ней и именно годы наибольшей славы её, когда присуждение парижской премии женщине обратило на неё внимание всего света, были для неё годами глубокой душевной тоски и разбитых надежд на счастье. Ковалевская горячо относилась ко всему, что окружало её, и при тонкой наблюдательности и вдумчивости обладала большой способностью к художественному воспроизведению виденного и перечувствованного. Литературное дарование поздно пробудилось в ней, а преждевременная смерть не дала в достаточной степени определиться этой новой стороне замечательной, глубоко и разносторонне образованной женщины. На русском языке из литературных произведений К. появились: «Воспоминания о Джордже Эллиоте» («Русская Мысль», 1886, № 6); семейная хроника «Воспоминания детства» («Вестник Европы», 1890, № 7 и 8); «Три дня в крестьянском университете в Швеции» («Северный Вестник», 1890, № 12); посмертное стихотворение («Вестник Европы», 1892, № 2); вместе с другими (переведённая со шведского повесть «Vae victis», отрывок из романа в Ривьере) эти произведения вышли отдельным сборником под заглавием: «Литературные сочинения С. В. К.» (СПб., 1893).
По-шведски написаны воспоминания о польском восстании и роман «Семья Воронцовых», сюжет которого относится к эпохе брожения в среде русской молодёжи конца 60-х годов XIX в. Но особый интерес для характеристики личности Ковалевской представляет «Kampen för Lyckan, tvänne paralleldramer of К. L.» (Стокгольм, 1887), переведенная на русский язык М. Лучицкой, под заглавием: «Борьба за счастье. Две параллельные драмы. Сочинение С. К. и А. К. Леффлёр» (Киев, 1892). В этой двойной драме, написанной Ковалевской в сотрудничестве с шведской писательницей Леффлер-Эдгрен, но всецело по мысли Ковалевской, она желала изобразить судьбу и развитие одних и тех же людей с двух противоположных точек зрения, «как оно было» и «как оно могло быть». В основание этого произведения Ковалевская положила научную идею. Она была убеждена, что все поступки и действия людей заранее предопределены, но в то же время признавала, что могут явиться такие моменты в жизни, когда представляются различные возможности для тех или иных действий, и тогда уже жизнь складывается различным образом, сообразно с тем, какой путь кто изберёт.
Свою гипотезу Ковалевская основывала на работе А. Пуанкаре о дифференциальных уравнениях: интегралы рассматриваемых Пуанкаре дифференциальных уравнений являются, с геометрической точки зрения, непрерывными кривыми линиями, которые разветвляются только в некоторых изолированных точках. Теория показывает, что явление протекает по кривой до места раздвоения (бифуркации), но здесь всё делается неопредёленным и нельзя заранее предвидеть, по которому из разветвлений будет дальше протекать явление (см. также Теория катастроф (математика)). По словам Леффлёр (её воспоминания о Ковалевской в «Киевском сборнике в помощь пострадавшим от неурожая», Киев, 1892), в главной из женских фигур этой двойной драмы, Алисе, Ковалевская обрисовала самоё себя, и многие из произносимых Алисой фраз, многие из её выражений были взяты целиком из собственных уст самой Ковалевской. Драма доказывает всемогущую силу любви, которая требует, чтобы любящие всецело отдались друг другу, но зато она и составляет в жизни всё, что только придает ей блеск и энергию.
Автор повести «Нигилистка» (1884).